1. fft原理

采样定理

采样频率要大于信号频率的两倍。

N个采样点经过FFT变换后得到N个点的以复数形式记录的FFT结果。 假设采样频率为Fs，采样点数为N。那么FFT运算的结果就是N个复数（或N个点），每一个复数就对应着一个频率值以及该频率信号的幅值和相位。第一个点对应的频率为0Hz（即直流分量），最后一个点N的下一个点对应采样频率Fs。其中任意一个采样点n所代表的信号频率：

Fn=(n-1)*Fs/N

这表明，频谱分析得到的信号频率最大为(N-1)*Fs/N,对频率的分辨能力是Fs/N。采样频率和采样时间制约着通过FFT运算能分析得到的信号频率上限，同时也限定了分析得到的信号频率的分辨率

傅里叶变换与频谱、功率谱、能量

信号f(t)在快速傅里叶变换后的得到频谱F(jω),频谱有两个特性,一个为幅度特性|F(jω)|,一个为相频特性φ(ω)
任意信号经过傅里叶变换（FFT）可到的是一个复数序列，每一项记为a+ib,每一个复数的模值对应该点的幅度特性:|F(jω)| = √(a^2+b^2 ),用Python表示即为np.sqrt(rfft * np.conj(r_fft)
信号的功率谱为信号频谱的平方，根据帕斯维尔定理，实信号的能量等于平均功率谱即1/2π ∫(-π)^(-π)|F(jω)|^2 dω

具体例子

具体的定量关系如下：

假设信号由以下周期的原始信号叠加而成：

Y = A1 + A2 Cos (2PIω2t + φ2 PI/180) + A3 Cos (2PIω3t + φ3 PI/180)

那么，在经过FFT分析后得到的第一个点的模值是A1的N倍，而且只有在FFT结果点对应的频率在ω2,ω3时，其模值才明显放大，在其他频率点，模值接近于0。在这些模值明显放大的点中，除第一个点之外的其它点模值是相应信号幅值的N/2倍。

每个复数的相位就是在该频率值下信号的相位：φ2，φ3。

FFT结果有对称性，通常我们只是用前半部分的结果，也就是小于采样频率一半的结果。同时也只有采样频率一半以内、具有一定幅值的信号频率才是真正的信号频率。

Python实践FFT频谱分析

假如信号S是有1个直流信号和4个周期信号叠加而成，如下公式所列（t为自变量，pi为圆周率值）现要对其进行FFT分析并绘制频谱图

import numpy as np 
import pylab as pl 
import math 

t = [x/1048.0 for x in range(1048)]
y = [2.0 + 3.0 * math.cos(2.0 * math.pi * 50 * t0 - math.pi * 30/180) + 1.5 * math.cos(2.0 * math.pi * 75 * t0 + math.pi * 90/180)+  1.0 * math.cos(2.0 * math.pi * 150 * t0 + math.pi * 120/180)
    +  2.0 * math.cos(2.0 * math.pi * 220 * t0 + math.pi * 30/180)
        for t0 in t ]
pl.plot(t,y)
pl.show()

波形图如下

现在我们要对该信号在0-1秒时间内进行频谱分析，我们在这1秒时间内采样1048点，则我们的采样频率为1048Hz。这两个设定决定了我们频谱分析所能得到的最高信号频率是1047Hz (1048Hz*(1048-1)/1048)，但只有小于524Hz的频率才可能是真实的信号频率。我们能分辨的最小频率差为1Hz（1048Hz/1048).

N=len(t)    # 采样点数
fs=1048.0     # 采样频率
df = fs/(N-1)   # 分辨率
f = [df*n for n in range(0,N)]   # 构建频率数组
Y = np.fft.fft(y) *2/N  #*2/N 反映了FFT变换的结果与实际信号幅值之间的关系
absY = [np.abs(x) for x in Y]      #求傅里叶变换结果的模
pl.plot(f,absY)
pl.show()

此时我们得到了信号的FFT分析结果，它存储在列表Y内，同时我们也获取了Y内每一个元素（是复数）的模组成的列表absY。根据理论分析，absY内的元素大部分都极其接近0，只有极少数峰值提示的是信号频率的幅度 频谱图如下：

频谱分析的结果具有对称性，同220Hz对称的频率为828Hz，可以计算出对称轴为524Hz.